LİMİT, LİMİT ÇEŞİTLERİ, LİMİT ÖZELLİKLERİ, LİMİT TEOREMLERİ KONU ANLATIMI

BİR FONKSİYONUN LİMİTİ

TANIM

A  R ve f: A – {x_o} R ‘ye bir fonksiyon F(x) olsun. x değişkeni x_oR sayısına yaklaştığında f(x) fonksiyonu da tR’ye yaklaşıyorsa t gerçel sayısına x, x_o’a yaklaşırken f(x) fonksiyonunun limiti denir ve lim    f(x) = t

                                                                     xx_o

şeklinde gösterilir.

 

SAĞDAN VE SOLDAN LİMİT:

SAĞDAN LİMİT:

y = f(x) fonksiyonunda x, x_o  R değerine sağ taraftan yaklaşırken f de bir t₁ R değerine yaklaşıyorsa t₁’e fonksiyonun sağdan limiti denir ve    lim    f(x) = t₁ biçiminde

                                                                                                                x x⁺_o

gösterilir.

 

SOLDAN LİMİT:

y = f(x) fonksiyonunda x, x_o  R değerine sol taraftan yaklaşırken f de bir t₂  R değerine yaklaşıyorsa t₂ ye fonksiyonun soldan limiti denir ve    lim     f(x) = t₂

                                                                                                                 xx^-_o

ÖRNEK:

   x² + 1, x  0 ise,
 

  x + 1 , x < 0 ise,

 

    fonksiyonun x = 0 noktasında limiti nedir?

 

ÇÖZÜM:

lim   f(x) = lim   (x² + 2) = 0² + 1 = 1

  x0⁺         x 0⁺

 

lim   f(x) = lim (x + 1) = 0 + 1 = 1

  x 0^-        x 0^-

 

O halde lim   f(x) = 1  dir.

              x  0

 

 

LİMİT TEOREMLERİ:

 

1) lim   (f(x)  g(x)) = lim    f(x)  lim   g(x)

    x  x₀                      x  x₀         x  x₀

 

2) lim   (f(x).g(x)) = lim    f(x).lim   g(x)

    x  x₀                 x  x₀      x  x₀

 

3) lim      c = c  (c  R)

     x x₀

 

4) lim   (c.f(x)) = c . lim    f(x)

    xx₀                  xx₀

 

5) g(x)  0  ve lim   g(x) 0 ise

                              xx₀

 

  

 

6) n  N⁺ olmak üzere

   

 

7)  n tek doğal sayı ise,

  

     

 

8) n çift doğal sayı ve f(x)  0 ise

 

    

 

9)

 

ÖRNEK:

 ifadesi neye eşittir?

 

ÇÖZÜM:

 

 

                                   

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTİ

1)

 

2)

 

3)

 

4)

 

5)

 

6)

 

ÖRNEKLER:

1.

 

2.

 

3.

 

 

4.

 

 

BELİRSİZLİKLER VE LİMİTLERİ

 

A)  BELİRSİZLİĞİNİN LİMİTİ:

 

ÖRNEK:

 

 ifadesinin değeri nedir?

 

 

ÇÖZÜM:

 

B)  BELİRSİZLİĞİN LİMİTİ:

 

ÖRNEK:

 

 limitinin değeri nedir?

 

ÇÖZÜM:

 

 

Payın derecesi paydadan büyük olduğundan

 

 

ÇÖZÜMLÜ TEST

 

1.  değeri aşağıdakilerden hangisidir?

 

A) –2                  B) –1                      C) 0                        D) 1                        E) 2

 

Çözüm 1.:

 

dır. O halde,

 

 

                                

                                                                          Cevap: B

 

 

2.   limitinin değeri nedir?

 

A)              B)                  C)                      D)                      E)

 

Çözüm 2.:

 

                                                                          Cevap: C C