FONKSİYONLAR BİLEŞKE, BİLEŞKE FONKSİYONLARIN ÖZELLİKLERİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR)
Bileşke Kavramı
Bileşke fonksiyonuna, fonksiyon fonksiyonu da denir.
FONKSİYONLARIN BİLEŞKESİ
Tanım (FONKSİYONLARIN BİLEŞKESİ)
; 
ve 
olmak üzere tanımlanan 
fonksiyona f ve g fonksiyonların bileşkesi denir ve 
veya kısaca 
biçiminde gösterilir ve g bileşke f diye okunur. Örnek 1: 
ve 
fonksiyonları için 
ve 
fonksiyonlarını bulunuz.
ve fonksiyonları için ve fonksiyonlarını bulunuz. Yanıt 1:
ve ayrı ayrı bulmak gerekir. 
hesaplanırken 
fonksiyonu 
fonksiyonundaki her x değişkeninin yerine koyularak hesaplanır. 
hesaplanırken fonksiyonu fonksiyonundaki her x değişkeninin yerine koyularak hesaplanır. bulunursa:
bulunursa:
ve 
olarak bulunur. Örnek 2: ve 
fonksiyonları için ve fonksiyonlarını bulunuz.
ve fonksiyonları için ve fonksiyonlarını bulunuz. Yanıt 2:
ve ayrı ayrı bulmak gerekir. hesaplanırken fonksiyonu fonksiyonundaki her x değişkeninin yerine koyularak hesaplanır. hesaplanırken fonksiyonu fonksiyonundaki her x değişkeninin yerine koyularak hesaplanır. bulunursa: 
bulunursa: 
ve 
olarak bulunur. Örnek 3: 
ve fonksiyonları için ve fonksiyonlarını bulunuz.
ve fonksiyonları için ve fonksiyonlarını bulunuz. Yanıt 3:
ve ayrı ayrı bulmak gerekir. hesaplanırken fonksiyonu fonksiyonundaki her x değişkeninin yerine koyularak hesaplanır. hesaplanırken fonksiyonu fonksiyonundaki her x değişkeninin yerine koyularak hesaplanır. bulunursa: 
bulunursa:
ve 
olarak bulunur. Örnek 4: ve fonksiyonları için 
ve 
fonksiyonlarını bulunuz.
ve fonksiyonları için ve fonksiyonlarını bulunuz. Yanıt 4:
ve ayrı ayrı bulmak gerekir. 
hesaplanırken 
değeri fonksiyonundaki her x değişkeninin yerine koyularak hesaplanır. 
hesaplanırken 
değeri fonksiyonundaki her x değişkeninin yerine koyularak hesaplanır. bulunursa:
bulunursa:
ve 
olarak bulunur. Örnek 5: ve fonksiyonları için 
ve 
fonksiyonlarını bulunuz.
ve fonksiyonları için ve fonksiyonlarını bulunuz. Yanıt 5:
ve ayrı ayrı bulmak gerekir. 
hesaplanırken 
değeri fonksiyonundaki her x değişkeninin yerine koyularak hesaplanır. 
hesaplanırken 
değeri fonksiyonundaki her x değişkeninin yerine koyularak hesaplanır. bulunursa:
bulunursa:
ve 
olarak bulunur. Örnek 6: 
ve 
için bulunuz.
ve için bulunuz. Yanıt 6:
Bileşke fonksiyon bulunursa:
bulunur.BİRİM (ÖZDEŞ-ETKİSİZ) FONKSİYON
Tanım (BİRİM (ÖZDEŞ-ETKİSİZ) FONKSİYON)
için 
fonksiyonuna birim (özdeş-etkisiz) fonksiyon denir. Birim (özdeş-etkisiz) fonksiyon, özel olarak 
biçiminde gösterilir. Örnek 1: 
ve fonksiyonunun şemasını çiziniz.
ve fonksiyonunun şemasını çiziniz. Yanıt 1:
Tanım ve görüntü kümeleri dır. Tanım kümesi için gereken görüntü kümesinin elemanları:
dır. Tanım kümesi için gereken görüntü kümesinin elemanları:
değerleri elde edilir. Örnek 2: 
fonksiyonunun birim fonksiyon olabilmesi için a, b ve c ne olmalıdır?
fonksiyonunun birim fonksiyon olabilmesi için a, b ve c ne olmalıdır? Yanıt 2:
fonksiyonu birim fonksiyon olduğundan için eşitlik yazılırsa 
olacaktır. Bu durumda 
ve 
olmalıdır. Örnek 3: 
fonksiyonunun birim fonksiyon olabilmesi için a, b ve c ne olmalıdır?
fonksiyonunun birim fonksiyon olabilmesi için a, b ve c ne olmalıdır? Yanıt 3:
fonksiyonu birim fonksiyon olduğundan için eşitlik yazılırsa 
olacaktır. Bu durumda 
ve 
olacağından 
ve 
olacaktır.FONKSİYONUN TERSİ
Tanım (FONKSİYONUN TERSİ)
ve 
bire bir ve örten fonksiyonlar olmak üzere 
eşitliği sağlanıyorsa f ve g fonksiyonlarına birbirlerinin tersi denir. g fonksiyonuna, f fonksiyonunun tersi denir ve 
biçiminde gösterilir. Örnek 1: 
fonksiyonunun tersini bulunuz.
fonksiyonunun tersini bulunuz. Yanıt 1:
Fonksiyonun tersi olarak alınırsa 
eşitliğinden yararlanırsak:
olarak alınırsa eşitliğinden yararlanırsak:
bulunur.
Örnek 2: 
fonksiyonunun tersini bulunuz.
fonksiyonunun tersini bulunuz. Yanıt 2:
Fonksiyonun tersi olarak alınırsa eşitliğinden yararlanırsak:
olarak alınırsa eşitliğinden yararlanırsak: 
bulunur.
Örnek 3: 
fonksiyonunun tersini bulunuz.
fonksiyonunun tersini bulunuz. Yanıt 3:
Fonksiyonun tersi olarak alınırsa eşitliğinden yararlanırsak:
olarak alınırsa eşitliğinden yararlanırsak: 
bulunur.
Örnek 4: 
fonksiyonunun tersini bulunuz.
fonksiyonunun tersini bulunuz. Yanıt 4:
Fonksiyonun tersi olarak alınırsa eşitliğinden yararlanırsak:
olarak alınırsa eşitliğinden yararlanırsak: 
bulunur.
Örnek 5: 
fonksiyonunun tersini bulunuz.
fonksiyonunun tersini bulunuz. Yanıt 5:
Fonksiyonun tersi olarak alınırsa eşitliğinden yararlanırsak:
olarak alınırsa eşitliğinden yararlanırsak: 
bulunur.
Örnek 6: 
fonksiyonunun tersini bulunuz.
fonksiyonunun tersini bulunuz. Yanıt 6:
Fonksiyonun tersi olarak alınırsa eşitliğinden yararlanırsak:
olarak alınırsa eşitliğinden yararlanırsak: 
bulunur.
Kural: 
biçiminde verilen fonksiyonların tersi 
olur.
biçiminde verilen fonksiyonların tersi olur. Örnek 7: 
fonksiyonunun tersini bulunuz.
fonksiyonunun tersini bulunuz. Yanıt 7:
Kural uygulanırsa f fonksiyonunun tersi 
dir.
dir. Örnek 8: 
ise 
değerini bulunuz.
ise değerini bulunuz. Yanıt 8:
Fonksiyonun tersi olarak alınırsa eşitliğinden yararlanırsak:
olarak alınırsa eşitliğinden yararlanırsak: 
bulunur.
Örnek 9: 
ise 
değerini bulunuz.
ise değerini bulunuz. Yanıt 9:
Kural uygulanırsa f fonksiyonunun tersi dir.
dir. 
bulunur.
BİLEŞKE FONKSİYONUN ÖZELİKLERİ
Bileşke fonksiyonunun özelikleri:
1. Değişme Özeliği
2. Birleşme Özeliği
3. Birim (Özdeş-Etkisiz) Fonksiyon Özeliği
4. Bileşke İçin 
Özeliği
Özeliği 5. Bileşke İçin 
Özeliği
Özeliği 6. Bileşke İçin 
Özeliği
Özeliği 7. Bileşke İçin 
Özeliği
Özeliği 8.
DEĞİŞME ÖZELİĞİ
Tanım (DEĞİŞME ÖZELİĞİ)
ve 
fonksiyonları için 
dir. Bileşke işleminin değişme özeliği yoktur. Örnek 1: 
ve fonksiyonları için olduğunu gösteriniz.
ve fonksiyonları için olduğunu gösteriniz. Yanıt 1:
ve bulalım:
olduğundan 
dir. Değişme özeliği yoktur. Örnek 2: ve fonksiyonları için olduğunu gösteriniz.
ve fonksiyonları için olduğunu gösteriniz. Yanıt 2:
ve bulalım:
olduğundan 
dir. eşitliğinin doğru olması değişme özeliğinin olduğunu göstermez. Genel olarak, bileşke işleminin değişme özeliği yoktur. BİRLEŞME ÖZELİĞİ
Tanım (BİRLEŞME ÖZELİĞİ)
ve 
fonksiyonları için 
dir. Bileşke işleminin birleşme özeliği vardır. Örnek 1: 
için 
ve 
fonksiyonları için
için ve fonksiyonları için a) 
fonksiyonlarını bulunuz.
fonksiyonlarını bulunuz. b) 
fonksiyonlarını bulunuz.
fonksiyonlarını bulunuz. c) 
değerini bulunuz.
değerini bulunuz. Yanıt 1:
a) 
b) 
c) 
bulunur. Sorunun a ve b parçalarına bakıldığında sonuçların eşit olduğu görülecektir. Böylece bileşke işleminin birleşme özeliği olduğu görülür.
Örnek 2: 
için 
olduğuna göre 
değerini bulunuz.
için olduğuna göre değerini bulunuz. Yanıt 2:
bulunur. Örnek 3: 
ve 
olduğuna göre 
ve 
değerlerini bulunuz.
ve olduğuna göre ve değerlerini bulunuz. Yanıt 3:
ve 
bulunur. Örnek 4: 
ve 
için bulunuz.
ve için bulunuz. Yanıt 4:
Bileşke fonksiyonu
bulunur. Örnek 5: 
ve 
için bulunuz.
ve için bulunuz. Yanıt 5:
Bileşke fonksiyon bulunursa
bulunur.BİRİM (ÖZDEŞ-ETKİSİZ) FONKSİYON ÖZELİĞİ
Tanım (BİRİM (ÖZDEŞ-ETKİSİZ) FONKSİYON ÖZELİĞİ)
f fonksiyonu ve 
için olmak üzere ise fonksiyonuna birim (özdeş-etkisiz) fonksiyon denir. Bileşke işleminin, birim (özdeş-etkisiz) fonksiyon özeliği vardır. Örnek 1: 
fonksiyonunun birim fonksiyon olabilmesi için d, e ve f ne olmalıdır?
fonksiyonunun birim fonksiyon olabilmesi için d, e ve f ne olmalıdır? Yanıt 1:
Birim fonksiyon yani olduğundan
yani olduğundan
olacaktır. Buradan
ve 
ve 
dir. Örnek 2: 
ise 
nedir?
ise nedir? Yanıt 2:
Bileşke fonksiyon
bulunur. BİLEŞKE İÇİN 
ÖZELİĞİ
Tanım ( ÖZELİĞİ)
ÖZELİĞİ)
fonksiyonu için 
ve 
dir. Örnek 1: 
için 
değerini bulunuz.
için değerini bulunuz. Yanıt 1:
Bileşke fonksiyon 
ve bundan değeri hesaplanırsa
ve bundan değeri hesaplanırsa
bulunur. Örnek 2: 
için ve bulunuz.
için ve bulunuz. Yanıt 2:
Bileşke fonksiyonlar ve bulunursa
ve bulunursa
ve bulunur. 
dir. BİLEŞKE İÇİN 
ÖZELİĞİ
Tanım ( ÖZELİĞİ)
ÖZELİĞİ)
birebir ve örten iki fonksiyon ise dir. Örnek 1: 
için 
bulunuz.
için bulunuz. Yanıt 1:
İlk önce 
, sonra da bulunursa:
, sonra da bulunursa: 
yani 
bulunur. Bu da olduğunu gösterir. Örnek 2: 
için bulunuz.
için bulunuz. Yanıt 2:
İlk önce , sonra da bulunursa:
, sonra da bulunursa: 
yani 
bulunur. Bu da olduğunu gösterir. BİLEŞKE İÇİN 
ÖZELİĞİ
Tanım ( ÖZELİĞİ)
ÖZELİĞİ) birebir ve örten iki fonksiyon ise dir. Örnek 1: için bulunuz.
için bulunuz. Yanıt 1:
özeliği gereği:
Buradan 
bulunur.
bulunur. Örnek 2: 
için bulunuz.
için bulunuz. Yanıt 2:
özeliği gereği:
dur. BİLEŞKE İÇİN 
ÖZELİĞİ
Tanım ( ÖZELİĞİ)
ÖZELİĞİ)
birebir ve örten fonksiyon ise dir. birebir ve örten fonksiyon ise 
dir. Bu durumda 
ve 
dir. Örnek 1: ise ve bulunuz.
ise ve bulunuz. Yanıt 1:
ve bulunması için önce f fonksiyonunun tersi bulunmalıdır. 
bulunur.
ve bulunur. Buradan 
elde edilir. 
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder